定义:对于一个函数f.若存在两条距离为d的平行直线y=kx+m1和y=kx+m2.使得贼x∈D时.kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立.则称函数f(x)在D内有一个宽度为d的通道.则下列函数:①f(x)=x2②f(x)=$\frac{sinx}{x}$③f(x)=2x④f(x)=$\sqrt{{x}^{2}-1}$在区间[4.+∞)内有一个宽度为1的通道的函数有②④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．定义：对于一个函数f（x）（x∈D），若存在两条距离为d的平行直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得贼x∈D时，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，则称函数f（x）在D内有一个宽度为d的通道，则下列函数：
①f（x）=x²②f（x）=$\frac{sinx}{x}$③f（x）=2^x④f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$在区间[4，+∞）内有一个宽度为1的通道的函数有②④．

分析通过当x∈[4，+∞）时，f（x）∈[16，+∞），即可判断①的正误．
f（x）=$\frac{sinx}{x}$，随着x的增大，函数值趋近于0，判断函数f（x）在[4，+∞）内有一个宽度为1的通道，判断②的正误．
对于③，当x∈[4，+∞）时，确定函数的值域，2^x≥16，即可判断③的正误；
对于④，当x∈[1，+∞）时，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，可取另一直线，满足在[4，+∞）有一个宽度为1的通道；

解答解：对于①，当x∈[1，+∞）时，f（x）∈[1，+∞），故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；∴①不正确．
对于②，f（x）=$\frac{sinx}{x}$，随着x的增大，函数值趋近于0，对于任意给定的正数x，都存在一个实数4，使得函数f（x）在[4，+∞）内有一个宽度为1的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；∴②正确．
对于③，当x∈[4，+∞）时，2^x≥16，故在[4，+∞）没有一个宽度为1的通道，∴③不正确．
对于④，当x∈[4，+∞）时，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x-1，满足在[4，+∞）有一个宽度为1的通道；∴④正确．
正确结果为：②④．
故答案为：②④．

点评本题考查的重点是对新定义的理解，解题的关键是通过研究函数的性质，找出满足题意的函数．