Question

已知O，A，B是平面上的三点，向量

OA

=

a

.

OB

=

b

，点C是线段AB的中点，设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点，向量

OP

=

P

，若|

a

|=4，|

b

|=2，则

p

•(

a

-

b

)=

6

．

Answer 1

分析：利用线段垂直平方线上的点到线段两个端点的距离相等得到|

BP

|=|

AP

|；利用向量的运算法则将此等式用

a

，

b

，

p

 表示；将等式平方，求出值．

解答：解：由于P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点，可得|

AP

|=|

BP

|，即|

p

-

a

|=|

p

-

b

|，
平方可得

p

2-2

a

•

p

+

a

2=

p

2-2

p

•

b

+

b

2，
化简可得 2

p

•

a

-2

p

•

b

=

a

2-

b

2=16-4=12，故有

p

•（

a

-

b

）=6，
故答案为 6．

点评：本题考查线段垂直平方线的性质、向量的运算法则、向量模的平方等于向量的平方，关于向量的基础知识要牢记，以免出现错误，属于中档题．