题目内容
(09年济宁质检一理)(12分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,
使不等式
,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若在区间上,函数
的图象恒在直线
的下方,求实数
的取值范围.
解析:(Ⅰ)当时
,
由,
得函数
在区间
为增函数,
则当时
。
故要使使不等式
成立,只需
即可。
(Ⅱ)在区间上,函数
的图象恒在直线
的下方等价于
对,
,即
恒成立。
设,
则.
当时,
.
(1)若,即
,
,函数
在区间
为减函数,
则当时
,
只需,即当
时
恒成立.
(2)若,即
时,令
得
函数在区间
为减函数,
为增函数,
则,不合题意.
(3)若,即当
时
,函数
在区间
为增函数,
则,不合题意.
综上可知当时
恒成立,
即当时,在区间
上函数
的图象恒在直线
的下方。
另解:对,
恒成立,
即对,
恒成立.
设函数,
(1)如图1,当时,即
,函数
为开口向下的二次函数,
则当时,函数
的图象在
的图象上方是不可能的;
(2)如图2,当时,即
,对于
的函数
的图象恒在
的图象上方;
(3)如图3,当时,即
,函数
为过坐标原点且开口向上的二次函数,要使
的函数
的图象恒在
的图象上方,只需函数
的图象与
轴的交点不在
的右边,即
,则
,且
,即
.
综上可知当时,对
的函数
的图象恒在
的图象上方,即当
时函数
的图象恒在直线
的下方。

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