题目内容

(09年济宁质检一理)(12分)

已知函数.

(Ⅰ)当时,使不等式,求实数的取值范围;

(Ⅱ)若在区间上,函数的图象恒在直线的下方,求实数的取值范围.

解析:(Ⅰ)当

得函数在区间为增函数,

则当

故要使使不等式成立,只需即可。

(Ⅱ)在区间上,函数的图象恒在直线的下方等价于

,即恒成立。

.

时,.

(1)若,即,函数在区间为减函数,

则当

只需,即当恒成立.

(2)若,即时,令

函数在区间为减函数,为增函数,

,不合题意.

(3)若,即当,函数在区间为增函数,

,不合题意.

综上可知当恒成立,

即当时,在区间上函数的图象恒在直线的下方。

另解:对恒成立,

即对恒成立.

设函数

(1)如图1,当时,即,函数为开口向下的二次函数,

则当时,函数的图象在的图象上方是不可能的;

(2)如图2,当时,即,对于的函数的图象恒在的图象上方;

(3)如图3,当时,即,函数为过坐标原点且开口向上的二次函数,要使的函数的图象恒在的图象上方,只需函数的图象与轴的交点不在的右边,即,则,且,即.

综上可知当时,对的函数的图象恒在的图象上方,即当时函数的图象恒在直线的下方。

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