题目内容
对于定义域为
的函数
，若有常数M，使得对任意的
，存在唯一的
满足等式
，则称M为函数
f (x)的“均值”．
（1）判断1是否为函数
≤
≤
的“均值”，请说明理由；
（2）若函数
为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；
（3）若函数
是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．
说明：对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分
解：（1）对任意的
，有
，
当且仅当
时，有
，
故存在唯一
，满足
，
……………………2分
所以1是函数
的“均值”．
……………………4分
(另法：对任意的，有，令，
则，且，
[来源:]
若
，且
，则有
，可得
，
故存在唯一，满足，
……………………2分
所以1是函数的“均值”．
……………………4分）
（2）当
时，
存在“均值”，且“均值”为
；…………5分
当
时，由
存在均值，可知对任意的
，
都有唯一的
与之对应，从而有单调，
故有
或
，解得
或
或
，
……………………9分
综上，a的取值范围是
或． ……………………10分
（另法：分
四种情形进行讨论）
（3）①当I
或
时，函数
存在唯一的“均值”．
这时函数的“均值”为
；
…………………12分
②当I为
时，函数存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数的“均值”； ……………………14分
③当I
或
或
或
或
或
时，
函数不存在“均值”． ……………………16分
[评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分]
①当且仅当I形如
、其中之一时，函数存在唯一的“均值”．
这时函数的“均值”为；
……………………13分
②当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数的“均值”； ……………………16分
③当且仅当I形如
、、、、、其中之一时，函数不存在“均值”． ……………………18分
（另法：①当且仅当I为开区间或闭区间时，函数存在唯一的“均值”．这时函数的均值为区间I两端点的算术平均数；
……………………13分
②当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数的“均值”；
……………………16分
③当且仅当I为除去开区间、闭区间与之外的其它区间时，函数不存在“均值”．
……………………18分）
[评分说明：在情形①与②中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分]
【解析】略
的函数
，若同时满足：①
在
，使
上的值域为
）叫做闭函数．
符合条件②的区间
是闭函数，求实数
的取值范围．
,
.若
对定义域内的
恒成立,则称函数
为
函数.(1)请举出一个定义域为
的
函数,并说明理由;(2)对于定义域为
的
，均有
;
的
,求证：
.
的函数
，若有常数M，使得对任意的
，存在唯一的
满足等式
，则称M为函数
f (x)的“均值”．
≤
≤
的“均值”，请说明理由；
为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；
是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数
的函数
，若存在区间
,使得
则称区间M为函数
； ②
； ③
的函数
，如果存在
，使得
成立，称函数
”函数。已知下列函数：①
； ②
；③
(
)； ④
，其中属于“