Question

设a，b，c∈（0，+∞）且a+b+c=1，令x=(

1

a

-1)(

1

b

-1)(

1

c

-1)，则x的取值范围为（　　）

• A．[0，

  1

  8

  ）
• B．[

  1

  8

  ，1）
• C．[1，8）
• D．[8，+∞）

Answer 1

分析：先利用题中条件：“a+b+c=1”将x的表达式化成

(b+c)(c+a)(a+b)

abc

，再利用基本不等式即可得到答案．

解答：解析：∵x=(

1

a

-1)(

1

b

-1)(

1

c

-1)
=

1-a

a

•

1-b

b

•

1-c

c

=

(b+c)(c+a)(a+b)

abc

≥

2 bc •2 ca •2 ab

abc

=8，
当且仅当a=b=c时取等号，∴x≥8．
故选D．

点评：本小题主要考查基本不等式在最值问题中的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．