题目内容
已知函数f(x)=2sinxcosx-2
cos2x+
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）当x∈[
，π]时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值．
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）当x∈[
| π |
| 2 |
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求f（x）的最小正周期和对称中心；
（Ⅱ）由2x-
∈[2kπ+
，2kπ+
]，可求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）当x∈[
，π]时，2x-
∈[
，
]，从而可求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值．
（Ⅱ）由2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
（Ⅲ）当x∈[
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 5π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sinxcosx-2
cos2x+
=sin2x-
cos2x=2sin（2x-
），
∴f（x）的最小正周期为
=π；
由2x-
=kπ，可得x=
+
，
∴函数的对称中心为（
+
，0）（k∈Z）；
（Ⅱ）由2x-
∈[2kπ+
，2kπ+
]，可得x∈[kπ+
，kπ+
]，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）；
（Ⅲ）当x∈[
，π]时，2x-
∈[
，
]，
∴2x-
=
，即x=
时，函数f（x）取得最大值，最大值为
．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（x）的最小正周期为
| 2π |
| 2 |
由2x-
| π |
| 3 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴函数的对称中心为（
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
（Ⅱ）由2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
（Ⅲ）当x∈[
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 5π |
| 3 |
∴2x-
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确化简函数，利用三角函数的性质是关键．
练习册系列答案
相关题目