Question

【题目】已知函数f（x）=eax﹣x﹣1，其中a≠0．若对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，则a的取值集合 ．

Answer 1

【答案】{1}
【解析】解：若a＜0，则对一切x＞0，∵eax＜1，∴f（x）=eax﹣x﹣1＜0，这与题设矛盾．又a≠0，故a＞0．
而f′（x）=aeax﹣1，令f′（x）=0得x= ln ，
当x＜ ln 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ ln 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴当x= ln ，f（x）取最小值f（ ln ）= ﹣ ln ﹣1．
于是对一切x∈R，f（x）≥0恒成立，当且仅当 ﹣ ln ﹣1≥0．①
令g（t）=t﹣tlnt﹣1，（t= ）则g′（t）=﹣lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；
当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
∴当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1﹣1=0．
∴当且仅当 =1，即a=1时，①式等号成立．
综上所述，a的取值集合为{1}．
所以答案是：{1}．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．