Question

已知（

1

2

+2x）ⁿ．
（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）第k+1项的二项式系数为C_n^k，由题意可得关于n的方程，求出n．
而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．
（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程，求出n．
而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设T_k+1项的系数最大，T_k+1项的系数为r_k，则有

rk≥ rk+1 rk≥rk-1

解答：解：（1）∵C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵，
∴n²-21n+98=0，
∴n=7或n=14．
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T₄和T₅，
∴T₄的系数=C₇³（

1

2

）⁴2³=

35

2

，
T₅的系数=C₇⁴（

1

2

）³2⁴=70．
当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T₈．
∴T₈的系数=C₁₄⁷（

1

2

）⁷2⁷=3432．
（2）由C_n⁰+C_n¹+C_n²=79，可得n=12，设T_k+1项的系数最大．
∵（

1

2

+2x）¹²=（

1

2

）¹²（1+4x）¹²，
∴

C k 12 4k≥ C k-1 12 4k-1 C k 12 4k≥ C k+1 12 4k+1

∴9.4≤k≤10.4，∴k=10，
∴展开式中系数最大的项为T₁₁．
T₁₁=（

1

2

）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．

点评：本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念．