Question

下列命题中，真命题是（　　）

• A．若sinA=

  1

  2

  ，则A=30°
• B．若m＞0，则x²+x+m=0有实根
• C．存在实数a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，

  1

  a

  +

  1

  b

  =

  7

  2

• D．x+y≠2012是x≠1006或y≠1006的充分不必要条件

Answer 1

分析：A．根据终边相同的角及互补角的正弦值相等，可知A不正确；
B．根据一元二次方程有实数根的充要条件是△≥0，即可判断出是否正确；
C．根据条件及基本不等式即可求出

1

a

+

1

b

的最小值，进而可判断出是否正确；
D．根据命题“若x=1006且y=1006，则x+y=2012”正确，而此命题的逆否命题是“若x+y≠2012，则x≠1006或y≠1006”，即可判断出是否正确．

解答：解：A．若sinA=

1

2

，则A=kπ+(-1)k

π

6

，（k∈Z），故A．不正确；
B．∵△=1-4m≥0，即m≤

1

4

时，此方程有实数根，故B不正确；
C．∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴

1

a

+

1

b

=(a+b)(

1

a

+

1

b

)=1+1+

b

a

+

a

b

≥2+2

b a × a b

=4，
即当且仅当a=b=

1

2

时取等号，也即

1

a

+

1

b

的最小值为4，不可能为

7

2

，故C不正确；
D．命题“若x=1006且y=1006，则x+y=2012”正确，其逆命题“若x+y=2012，则x=1006，y=1006”不正确；
由此可知此命题的逆否命题正确，而否命题不正确．
故x+y≠2012是x≠0或y≠0的充分不必要条件．即D．正确．
综上可知：真命题是D．
故选D．

点评：充分理解终边相同的角及互补角的正弦值相等、一元二次方程有实数根的充要条件、基本不等式的性质、充要条件的意义是解题的关键．