题目内容

已知函数f(x)=log
1
2
[ax2-(a-1)x-2]
的值域为R,且f(x)在(2,5)上是减函数,则实数a的取值范围是(  )
A、a>0
B、a≥0
C、0≤a≤2
D、-
9
2
≤a≤-4
分析:函数f(x)=log
1
2
[ax2-(a-1)x-2]
的值域为R等价于ax2-(a-1)x-2能取遍一切正实数,即△=a2-2a+1+8a≥0,解之a≤-3-2
2
a≥-3+2
2
.再由f(x)在(2,5)上是减函数,根据复合函数的单调性可知
a-1
2a
≤2
4a-2(a-1)-2>0
25a-5(a-1)-2>0
,解得a>0.取这两种情况的交集得实数a的取值范围.
解答:解:∵函数f(x)=log
1
2
[ax2-(a-1)x-2]
的值域为R,∴ax2-(a-1)x-2能取遍一切正实数,∴△=a2-2a+1+8a≥0,解之a≤-3-2
2
a≥-3+2
2
.∵f(x)在(2,5)上是减函数,∴根据复合函数的单调性可知
a-1
2a
≤2
4a-2(a-1)-2>0
25a-5(a-1)-2>0
,解之a>0.{a|a≤-3-2
2
a≥-3+2
2
}∩{a|a>0}={a|a≥-3+2
2
},∴实数a的取值范围是[-3+2
2
,+∞)
.故上述四个选项均不对.正确答案是:实数a的取值范围是[-3+2
2
,+∞)
点评:解这类问题一是要注意对数函数的值域为R时真数的取值范围是全体正实数,二是要注意复合函数的单调性:同增异减.
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