题目内容
例3：已知函数y=sin4x-2acos2x+a2的最小值为1，求常数a可能取的值．
【答案】分析：根据同角三角函数间的关系，可将原函数式化简为y=（sin2x+a）2-2a，根据二次函数的性质，又有0≤sin2x≤1，对a分三种情况讨论，依次分析，验证其最小值是否为1，可得答案．
解答：解：根据同角三角函数间的关系，有cos2x=1-sin2x，
则y=sin4x-2a（1-sin2x）+a2=sin4x+2asin2x+a2-2a=（sin2x+a）2-2a，
又有0≤sin2x≤1，
若-a＜0，即a＞0时，
分析可得，当sin2x=0时，y的最小值为a2-2a，
根据题意，a2-2a=1，解可得a=-1±
，
又有a＞0，故舍去，
分析可得，当sin2x=1时，y的最小值为a2+1
根据题意，a2+1=1，解可得a=0，
又有a＜-1，故舍去，
若0≤-a≤1，即-1≤a≤0时，
分析可得，当sin2x=-a时，y的最小值为-2a，
根据题意，-2a=1，解可得a=-
，
综合可得，a=-
．
点评：本题考查函数的最值，尤其涉及二次函数时，注意要对参数分情况讨论．
解答：解：根据同角三角函数间的关系，有cos2x=1-sin2x，
则y=sin4x-2a（1-sin2x）+a2=sin4x+2asin2x+a2-2a=（sin2x+a）2-2a，
又有0≤sin2x≤1，
若-a＜0，即a＞0时，
分析可得，当sin2x=0时，y的最小值为a2-2a，
根据题意，a2-2a=1，解可得a=-1±
，又有a＞0，故舍去，
分析可得，当sin2x=1时，y的最小值为a2+1
根据题意，a2+1=1，解可得a=0，
又有a＜-1，故舍去，
若0≤-a≤1，即-1≤a≤0时，
分析可得，当sin2x=-a时，y的最小值为-2a，
根据题意，-2a=1，解可得a=-
，综合可得，a=-
．点评：本题考查函数的最值，尤其涉及二次函数时，注意要对参数分情况讨论．
练习册系列答案
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