题目内容
如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，两根钢管相距1m，AB=10| 3 |
| 3 |
（1）试将l（m）分别表示成x（m），θ（rad）的函数；
（2）选择其中一个函数模型求l（m）的最小值，并求相应的x（或θ）的值．
分析：（1）根据三角形相似，求出DF，在△FBE中，根据勾股定理列出l与x的关系式；过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中和△CME中，分别用θ表示出CF和CE，即可列出l与θ的关系式；
（2）选择l与θ的关系式或l与x的关系式进行求解，利用导数求出函数的最值，即可求得答案．
（2）选择l与θ的关系式或l与x的关系式进行求解，利用导数求出函数的最值，即可求得答案．
解答：解：（1）①根据题意，可得△CFD～△AFB，则有
=
，即DF=
，
∴l(x)=
=
，x∈(3
，10
]；
②过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中，CF=
，在△CME中，CE=
，
∴l(θ)=
+
，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=7
．
（2）①若选l是θ的函数，
∵l(θ)=
+
，θ∈（0，α]，
∴l′(θ)=
+
=
，
令l′（θ）=0，得θ=
，
∴当θ∈(0，
)⇒l′(θ)＜0⇒l(θ)在(0，
)递减，当θ∈(
，α]⇒l′(θ)＞0⇒l(θ)在(
，α]递增，
∴当且仅当θ=
时，l(θ)min=l(
)=8(m)；
②若选l是x的函数，
∵l(x)=
=
，x∈(3
，10
]，
∴令μ(x)=(
)2+x2，x∈(3
，10
]，
∴μ′(x)=2x
，
令μ′（x）=0，得x=4
或x=0（舍去），
∴当x∈(3
，4
)⇒μ′(x)＜0⇒μ(x)在(3
，4
)递减，当x∈(4
，10
]⇒μ′(x)＞0⇒μ(x)在(4
，10
]递增，
∴当且仅当x=4
时，l（x）min=8（m）．
| DF |
| DF+1 |
3
| ||
| x |
3
| ||
x-3
|
∴l(x)=
(1+
|
(
|
| 3 |
| 3 |
②过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中，CF=
3
| ||
| sinθ |
| 1 |
| cosθ |
∴l(θ)=
3
| ||
| sinθ |
| 1 |
| cosθ |
| 3 |
（2）①若选l是θ的函数，
∵l(θ)=
3
| ||
| sinθ |
| 1 |
| cosθ |
∴l′(θ)=
-3
| ||
| sin2θ |
| sinθ |
| cos2θ |
sin3θ-3
| ||
| sin2θcos2θ |
令l′（θ）=0，得θ=
| π |
| 3 |
∴当θ∈(0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴当且仅当θ=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
②若选l是x的函数，
∵l(x)=
(1+
|
(
|
| 3 |
| 3 |
∴令μ(x)=(
| x | ||
x-3
|
| 3 |
| 3 |
∴μ′(x)=2x
(x-3
| ||||
(x-3
|
令μ′（x）=0，得x=4
| 3 |
∴当x∈(3
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴当且仅当x=4
| 3 |
点评：本题考查了函数在生产生活中应用，关键是寻找到合适的变量建立数学模型，利用数学的相关知识求解函数的最值．本题主要是应用函数的导数求解函数的最值，导数是求函数最值的通法．属于中档题．
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，BB1=2．