题目内容

设 $数学公式$ ，是否存在g（n），使得等式f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）总成立？若存在，请写出g（n）通项公式（不必说明理由）；若不存在，说明理由．________．

解：f（1）=1
f（2）=1+ $\text{[math]}$
f（3）=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
…
f（n）=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +… $\text{[math]}$
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）
=n×1+ $\text{[math]}$ （n-1）+ $\text{[math]}$ （n-2）… $\text{[math]}$ [n-（n-1）]
=n[1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +… $\text{[math]}$ ]-[ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ ]
=nf（n）-[1- $\text{[math]}$ +1- $\text{[math]}$ +1- $\text{[math]}$ …1- $\text{[math]}$ ]
=nf（n）-[（n-1）-f（n）+1]
=（n+1）f（n）-n
因为f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）
所以（n+1）f（n）=ng（n）f（n）
所以g（n）= $\text{[math]}$
故答案为：存在，通项公式 $\text{[math]}$
分析：先将f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）用f（n）表示，然后代入f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）可求出g（n）的解析式．
点评：本题主要考查了数列的求和，以及存在性问题，同时考查了计算能力和转化能力，属于中档题．