题目内容
已知函数y=x3+ax2-5x+b在x=-1处取得极值2．
（I）求实数a和b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
（I）求实数a和b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
分析：（I）先求函数f（x）的导函数，再根据函数f（x）在x=-1处取得极值2得到，解方程即可；
（Ⅱ）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间即可．
（Ⅱ）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间即可．
解答：解：（1）由于f'（x）=3x2+2ax-5
而函数y=x3+ax2-5x+b在x=-1处取得极值2，则f'（-1）=0，f（-1）=2
即
解得
故实数a和b都为-1；
（2）由于f′（x）=3x2+2ax-5=（3x-5）（x+1）
若令f′（x）＞0，则x＜-1或x＞
；若令f′（x）＜0，则-1＜x＜
．
故f（x）的单调递增区间为：（-∞，-1），（
，+∞）；f（x）的单调递减区间为：（-1，
）．
而函数y=x3+ax2-5x+b在x=-1处取得极值2，则f'（-1）=0，f（-1）=2
即
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故实数a和b都为-1；
（2）由于f′（x）=3x2+2ax-5=（3x-5）（x+1）
若令f′（x）＞0，则x＜-1或x＞
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故f（x）的单调递增区间为：（-∞，-1），（
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点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的零点和函数在某点取得极值的条件，属于基础题．
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已知函数y=-x3-x2+2，则（ ）
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