Question

已知向量

OA

=(2，0)，

OC

=

AB

=(0，1)，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，其中O是坐标原点，k是参数．
（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）当k=

1

2

时，求|

OM

+2

AM

|的最大值和最小值；
（3）如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足

3

3

≤e≤

2

2

，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设出M的坐标并求出A（2，0），B（2，1），C（0，1），把各点的坐标以及动点M到定直线y=1的距离等于d代入

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，整理即可求出动点M的轨迹方程为（1-k）（x²-2x）+y²=0，再分情况得出曲线类型；
（2）先利用（1）的结论得出：0≤x≤2，y²=

1

2

-

1

2

(x-1)2，再把|

OM

+2

AM

|整理为

9

2

(x-

5

3

)2+

7

2

，利用二次函数在闭区间上的最值求即可求出|

OM

+2

AM

|的最大值和最小值；
（3）先由离心率e满足

3

3

≤e≤

2

2

，得圆锥曲线是椭圆，且方程可化为(x-1)2+

y2

1-k

=1．再利用离心率e和系数的关系分情况分别求出对应的实数k的取值范围即可．

解答：解：（1）设M（x，y），由题设可得A（2，0），B（2，1），C（0，1）
∴

OM

=(x，y)，

AM

=(x-2，y)，

CM

=(x，y-1)，

BM

=(x-2，y-1)，d=|y-1|，
因

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)
∴（x，y）•（x-2，y）=
k[（x，y-1）•（x-2，y-1）-|y-1|²]
即（1-k）（x²-2x）+y²=0为所求轨迹方程．
当k=1时，y=0，动点M的轨迹是一条直线；
当k=0时，x²-2x+y²=0，动点M的轨迹是圆；
当k≠1时，方程可化为(x-1)2+

y2

1-k

=1，当k＞1时，动点M的轨迹是双曲线；
当0＜k＜1或k＜0时，动点M的轨迹是椭圆．
（2）当k=

1

2

时，M的轨迹方程为(x-1)2+

y2

1 2

=1，．得：0≤x≤2，y²=

1

2

-

1

2

(x-1)2．
∵|

OM

+2

AM

|2=|(x，y)+2(x-2，y)|2=|(3x-4，3y)|2
=(3x-4)2+9y2=(3x-4)2+9[

1

2

-

1

2

(x-1)2]
=

9

2

(x-

5

3

)2+

7

2

．
∴当x=

5

3

时，|

OM

+2

AM

|2取最小值

7

2

当x=0时，|

OM

+2

AM

|2取最大值16．
因此，|

OM

+2

AM

|的最小值是

14

2

，最大值是4．
（3）由于

3

3

≤e≤

2

2

，即e＜1，此时圆锥曲线是椭圆，其方程可化为(x-1)2+

y2

1-k

=1，
①当0＜k＜1时，a²=1，b²=1-k，c²=1-（1-k）=k，e2=

c2

a2

=k，∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤k≤

1

2

；
②当k＜0时，a²=1-k，b²=1，c²=（1-k）-1=-k，e2=

c2

a2

=

-k

1-k

=

k

k-1

，∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤

k

k-1

≤

1

2

，而k＜0得，-1≤k≤-

1

2

．
综上，k的取值范围是[-1，-

1

2

]∪[

1

3

，

1

2

]．

点评：本题综合考查了轨迹方程的求法以及向量与圆锥曲线的综合问题和分类讨论思想的应用，是对知识的综合考查，属于难题．