题目内容
【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍,再将所得函数图象向右平移
个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间;
(3)当x∈[﹣ ,
]时,求函数y=f(x+
)﹣
f(x+
)的最值.
【答案】
(1)解:由图可得, ,
∴T=2π,则 .
由五点作图的第二点知, φ=
,则φ=
.
∴f(x)=Asin(x+ ),
又f(0)=Asin =2,得A=4.
∴f(x)=4sin(x+ );
(2)解:将函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍所得函数解析式
为y=4sin(2x+ ),再将所得函数图象向右平移
个单位,解析式变为y=4sin[2(x﹣
)+
],
∴g(x)=4sin(2x﹣ ).
由 ,解得:
.
∴g(x)的单调递增区间为 ;
(3)解:y=f(x+ )﹣
f(x+
)
=4sin(x+ +
)﹣4
sin(x+
+
)
=4sin(x+ )﹣4
cosx
=4sinxcos +4cosxsin
﹣
=4sin(x﹣ ).
∵x∈[﹣ ,
],
∴ ,
∴函数y=f(x+ )﹣
f(x+
)的最小值为﹣4,最大值为2.
【解析】(1)由图得到函数的四分之三周期,进一步求得周期,代入周期公式求ω,然后利用五点作图的第二点求得φ,再由f(0)=2求得A的值,则函数解析式可求;(2)由函数的周期变化和平移变换求得g(x),然后再由简单的复合函数单调性的求法求解g(x)的增区间;(3)结合(1)中的f(x)的解析式求得y=f(x+ )﹣
f(x+
),利用三角恒等变换变形后根据x的范围求最值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的相关知识,掌握图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
倍(横坐标不变),得到函数
的图象.
