题目内容

给出下列命题：①存在实数x，使sinx+cosx=
3
2
；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
③函数y=sin(
2
3
x+
π
2
)是偶函数；
④函数y=sin2x的图象向左平移
π
4
个单位，得到函数y=sin(2x+
π
4
)的图象．
其中正确命题的序号是
 
．（把正确命题的序号都填上）
分析：根据三角函数的恒等变形，看出三角函数的值域，得到①不正确，根据举出反例说明②不正确，通过恒等变形以后看出④不正确，根据诱导公式看出③正确．
解答：解：sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)≤
2
＜
3
2
，故①不正确，
②反例为α=300，β=-3300，虽然α＞β，但是cosα=cosβ，故②不正确，
③通过诱导公式变化成余弦函数，得到函数是一个偶函数，故③正确，
④y=sin2x 得到 y=sin2(x+
π
4
)=sin(2x+
π
2
)，故④不正确．
故答案为：③
点评：本题考查三角函数的图象变换和奇偶性定义域和值域的问题，本题解题的关键是对函数式进行恒等变形，得到能够验证三角函数的性质的问题．
练习册系列答案
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给出下列命题：①存在实数x，使得sinx+cosx=
π
3
；②函数y=sinx的图象向右平移
π
4
个单位，得到y=sin(2x+
π
4
)的图象；③函数y=sin(
2
3
x-
7
2
π)是偶函数；④已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则sinα＞cosβ．其中正确的命题的个数为（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
给出下列命题：
①存在实数α，使sinα•cosα=1
②函数y=sin(
3
2
π+x)是偶函数
③x=
π
8
是函数y=sin(2x+
5
4
π)的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
其中正确命题的序号是
②③
②③
．
给出下列命题：
①存在实数x，使得sinx+cosx=
π
3
；
②函数y=sin2x的图象向右平移
π
4
个单位，得到y=sin(2x+
π
4
)的图象；
③函数y=sin(
2
3
x-
7
2
π)是偶函数；
④已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则sinα＞cosβ．
其中正确的命题的个数为
3
3
．
给出下列命题：
①存在实数a，使sinacosa=1；
②y=cosx的单调递增区间是[2kπ，（2k+1）π]，（k∈Z）；
③y=sin（
5π
2
-2x）是偶函数；
④若α，β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．
⑤函数f（x）=4sin（2x+
π
3
）的表达式可以改写成f（x）=4cos（2x-
π
6
）
⑥函数y=sinx的图象的对称轴方程为x=kπ+
π
2
，(k∈Z)．
其中正确命题的序号是
③⑤⑥
③⑤⑥
．（注：把你认为正确命题的序号都填上）
给出下列命题：
①存在实数α使sinα•cosα=1成立；
②存在实数α使sinα+cosα=
3
2
成立；
③函数y=sin(
5π
2
-2x)是偶函数；
④x=
π
8
是函数y=sin(2x+
5π
4
)的图象的一条对称轴的方程；
⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
其中正确命题的序号是（　　）

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