Question

甲、乙两位同学做摸球游戏．游戏规则规定：两人轮流从一个放有2个红球，3个黄球，1个白球的6个小球（只有颜色不同）的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取．
（Ⅰ）求甲取球次数不超过二次就获胜的概率．
（Ⅱ）若直到甲第n次取出球时，恰好分出胜负的概率等于

64

2187

，求甲的取球次数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设“甲取球次数不超过二次就获胜”为事件A，进而计算可得两人每次抽到红球与抽不到红球的概率，分析可得A有两种情况：①甲第一次取球就得红球，②甲第二次取球得红球，由相互独立事件的概率乘法公式，计算可得每种情况的概率，进而由互斥事件概率的加法公式，计算可得答案；
（Ⅱ）若直到甲第n次取出球时，恰好分出胜负，则甲在前n-1抽取中，抽到的都不是红球，同时乙也抽了n-1次，也没有抽到红球，即可得关于n的表达式，解可得答案．

解答：解（Ⅰ）设“甲取球次数不超过二次就获胜”为事件A，
根据题意，两人每次抽到红球的概率都为

2

6

=

1

3

，则抽不到红球的概率为1-

1

3

=

2

3

，
则A有两种情况：①甲第一次取球就得红球，其概率P₁=

1

3

，
②甲第二次取球得红球，其概率P₂=

2

3

×

2

3

×

1

3

=

4

27

，
则P（A）=P₁+P₂=

1

3

+

4

27

=

13

27

，
甲取球次数不超过二次就获胜的概率

13

27

（Ⅱ）由题意可得：若直到甲第n次取出球时，恰好分出胜负，
则甲在前n-1抽取中，抽到的都不是红球，同时乙也抽了n-1次，也没有抽到红球，
则有(

2

3

)n-1•(

2

3

)n-1•

1

3

=

64

2187

，
解得n=4
故甲取球次数为4次．

点评：本题考查相互独立事件的概率的计算，注意（Ⅱ）中，要根据题意，由甲抽取的情况来分析乙的抽取的次数．