Question

【题目】已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）设，求函数的单调区间；

（3）若对任意的恒成立，求满足题意的所有整数m的取值集合．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【解析】

（1）利用切点和斜率求得切线方程.

（2）求得的表达式，利用，对分成，两种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（3）由对任意的恒成立，得到对成立，由此构造函数，利用来导数研究的单调区间和最值，由此求得整数的取值集合.

（1），所以，，

所以所求切线方程为，即．

（2）由已知，，

所以．

当时，的单调递增区间为；

当时，令，得或（舍去），

时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增．

综上，当时，的单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为，

函数的单调递增区间为．

（3）由已知对成立，

设，

令，得．

当时，单调递减；

当时，单调递增．

所以，

设，令，得．

当时，单调递增；

当时，单调递减．

又，，，，，

所以满足题意的整数m构成的集合为．