Question

解关于x的不等式（1）2+a＜a|x-1|（a∈R）；（2）|2x+3|-1＜a（a∈R）

Answer 1

分析：（1）当a＜-2时，不等式可化为 

2+a

a

＞|x-1|，求得其解集；当-2≤a＜0时，解集为空集；当a=0时，解集为空集；当a＞0时，由不等式可得1+

2

a

＜|x-1|，求出其解集．
（2）a≤-1时，解集为空集，当a＞-1时，由|2x+3|-1＜a 可得-a-1＜2x+3＜a+1，由此求得其解集．

解答：解：（1）当a＜-2时，不等式可化为 

2+a

a

＞|x-1|，即 1+

2

a

＞|x-1|，
-1-

2

a

＜x-1＜1+

2

a

，∴解集为{x|-

2

a

＜x＜2+

2

a

}．
当-2≤a＜0时，由不等式可得 0＞1+

2

a

＞|x-1|，故不等式无解，即解集为空集．
当a=0时，由不等式可得2+0＜0，故解集为空集．
当a＞0时，由不等式可得1+

2

a

＜|x-1|，∴x-1＞1+

2

a

，或 x-1＜-1-

2

a

，
解得解集为{x|x＞2+

2

a

或 x＜-

2

a

 }，
 （2）a≤-1时，解集为空集．
当a＞-1时，由|2x+3|-1＜a 可得-a-1＜2x+3＜a+1，∴

-a-4

2

＜x＜

a-2

2

．
即解集为 {x|

-a-4

2

＜x＜

a-2

2

 }．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．