Question

已知圆C₁：x²+y²=4与直线l：3x+4y-5=0交于A，B两点，若圆C₂的圆心在线段AB上，且圆C₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧

AB

上，则圆C₂的最大面积为为

π

．

Answer 1

分析：先根据圆C₁的方程找出圆心坐标与半径R的值，找出圆C₂的半径的最大时的情况：当圆c₂的圆心Q为线段AB的中点时，圆c₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧

AB

上，设切点为P，此时圆C₂的半径r的最大．求r的方法是，联立直线与圆的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出Q的横坐标，把Q的横坐标代入直线方程即可求出Q的纵坐标，得到Q的坐标，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离OQ等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C₂的半径最大值．

解答：解：由圆C₁：x²+y²=4，可得圆心O（0，0），半径R=2
如图，当圆c₂的圆心Q为线段AB的中点时，圆c₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧

AB

上，设切点为P，此时圆C₂的半径r的最大．
联立直线与圆的方程得

3x+4y-5=0 x2+y2=4

，消去y得到25x²-30x-39=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

6

5

，所以线段AB的中点Q的横坐标为

3

5

，把x=

3

5

代入直线方程中解得y=

4

5

，
所以Q（

3

5

，

4

5

），则两圆心之间的距离OQ=d=

( 3 5 -0)2+( 4 5 -0)2

=1，
因为两圆内切，所以圆c₂的最大半径r=R-d=2-1=1，
则圆C₂的最大面积为为π．
故答案为：π

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的思想，做题时掌握两圆内切时两半径所满足的条件，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值．