Question

过点B（0，1）的直线l₁交曲线x=2于P（2，y），过点B'（0，-1）的直线l₂交x轴于P'（x，0）点，，l₁∩l₂=M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l与C相交于不同的两点S、T，已知点S的坐标为（-2，0），点Q（0，m）在线段ST的垂直平分线上且≤4，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）确定直线l₁、l₂的方程，联立方程可得动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，确定线段ST的中点坐标，分类讨论，利用≤4，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意，直线l₁的方程是，
∵，∴l₁的方程是
若直线l₂与y轴重合，则M（0，1）；
若直线l₂不与y重合，可求得直线l₂的方程是，与l₁的方程联立消去x得，
因l₁不经过（0，-1），故动点M的轨迹C的方程是（y≠-1）…（5分）
（Ⅱ）设T（x₁，y₁），直线l的方程为y=k（x+2）
于是S、T两点的坐标满足方程组，由方程消去y并整理得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=得x₁=，从而y₁=
设线段ST的中点为N，则N（，）…（7分）
以下分两种情况：①当k=0时，点T的坐标为（2，0），线段ST的垂直平分线为y轴，
于是，由≤4得：-2≤m≤2．
②当k≠0时，线段ST的垂直平分线方程为y-=-（x+）
令x=0，得m=
∵，∴，
由=-2x₁-m（y₁-m）=+（+）=≤4
解得-≤k≤且k≠0，∴m==
∴当-≤k＜0时，≤-4；当0＜k≤时，≥4
∴-≤m≤，且m≠0
综上所述，-≤m＜，且m≠0．…（12分）
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．