Question

已知函数f(x)=

x2

1+x2

（1）由f(2)=

4

5

，f(

1

2

)=

1

5

，f(3)=

9

10

，f(

1

3

)=

1

10

这几个函数值，你能发现f（x）与f(

1

x

)有什么关系？并证明你的结论；
（2）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2010

)的值；
（3）判断函数f(x)=

x2

1+x2

在区间（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）通过观察这几个函数值，发现f（x）+f（

1

x

）=1，由函数f（x）的解析式可得到证明；
（2）利用（1）中的结论将自变量互为的两个函数值相加即可救是答案；
（3）利用函数单调性的定义进行证明即可，先设0＜x₁＜x₂由0＜x₁＜x₂知x₁-x₂＜0最后证得：f（x₁）＜f（x₂）从而
函数f(x)=

x2

1+x2

在区间（0，+∞）上为增函数．

解答：解：（1）f（x）+f（

1

x

）=（12分）
f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

1 x2

1+ 1 x2

=1（5分）
（2）

f(1)+f(2)+f(3)++f(2010)+f( 1 2 )+f( 1 3 )++f( 1 2010 ) =2009+ 1 2 = 4019 2

（8分）
（3）设0＜x₁＜x₂

f(x1)-f(x2)= x 2 1 1+ x 2 1 - x 2 2 1+ x 2 2 = x 2 1 (1+ x 2 2 )- x 2 2 (1+ x 2 1 ) (1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 ) = x 2 1 - x 2 2 (1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 ) = (x1+x2)(x1-x2) (1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

（11分）
由0＜x₁＜x₂知x₁-x₂＜0（12分）
所以有

(x1+x2)(x1-x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

＜0即f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）
函数f(x)=

x2

1+x2

在区间（0，+∞）上为增函数（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数的值、归纳推理等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．