Question

直线l过x轴上的点M，l交椭圆

x2

8

+

y2

4

=1于A，B两点，O是坐标原点．
（1）若M的坐标为（2，0），当OA⊥OB时，求直线l的方程；
（2）若M的坐标为（1，0），设直线l的斜率为k（k≠0），是否存直线l，使得l垂直平分椭圆的一条弦？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，求出k，即可求直线l的方程；
（2）利用点差法求出AB中点坐标，利用中点（x₀，y₀）在椭圆内，即可求k的取值范围．

解答：解：（1）k不存在时，显然不成立；
令直线l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2+2y2=8 y=k(x-2)

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
∴x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8(k2-1)

1+2k2

，
由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=0，
∴(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0，
韦达定理代入，得（1+k²）•

8(k2-1)

1+2k2

-2k²•

8k2

1+2k2

+4k²=0，
∴k=±

2

，
∴直线l：y=±

2

(x-2)；
（2）令AB中点（x₀，y₀），由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得

x 2 1 8 + y 2 1 4 =1，(1) x 2 2 8 + y 2 2 4 =1，(2)

（1）-（2），得

(x1-x2)(x1+x2)

2

+(y1-y2)(y1+y2)=0，
∴

x0

2

+kAB•y0=0，即

x0

2

-

1

k

•y0=0①
又因为AB中点（x₀，y₀）在直线l上，所以y₀=k（x₀-2）②
由①②得x₀=2，y₀=k，
∵中点（x₀，y₀）在椭圆内，
∴

x 2 0

8

+

y 2 0

4

＜1，即-

2

＜k＜

2

，且k≠0．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查点差法，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．