Question

2．设函数f（x）=$co{s}^{2}（\frac{π}{2}+x）$+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{5π}{2}$-x），x∈R，求函数f（x）的单调递增区间，并求f（x）在区间[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}$]上的最小值．

Answer 1

分析 由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解函数f（x）的单调递增区间．由x∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}$]，得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，从而解得f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即可求得f（x）在区间[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}$]上的最小值．

解答 解：∵f（x）=$co{s}^{2}（\frac{π}{2}+x）$+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{5π}{2}$-x）
=sin²x+$\sqrt{3}$cosxsinx
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：kπ$-\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间是：[kπ$-\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
∵x∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{1}{2}$，1]
∴f（x）在区间[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}$]上的最小值是：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象与性质，解题时注意讨论角的范围，属于基本知识的考查．