题目内容
【题目】定义区间(m,n),,
,
的长度均为
,其中
.
(1)若关于x的不等式的解集构成的区间的长度为
,求实数a的值;
(2)求关于x的不等式的解集构成的区间的长度的取值范围;
(3)已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为5,求实数t的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)观察二次项的系数带有字母,需要先对字母进行讨论,当a等于0时,看出合不合题意,时,方程
的两根设为
,根据根与系数之间的关系,写出两根的和与积,表示出区间长度,得到结果(2)根据所给的函数式,利用三角函九公式进行化简求值,根据二次不等式出不等式成立的条件,由此能求出结果(3)先解关于x的不等式组,解出两个不等式的解集,求两个不等式的解集的交集,
,不等式组的解集的各区间长度和为6,写出不等式组进行讨论,得到结果.
(1)当时,不等式
的解为
,不成立;
当时,方程
的两根设为
,则
,
,
由题意知,
解得或
(舍),
所以.
(2),
,
,
∴当时,
的解集为
,
当时,
的解集为
,
∴关于x的不等式的解集构成的区间的长度的取值范围是
.
(3)先解不等式,整理,得
,解得
.
∴不等式的解集为
,
设不等式的解集为B,不等式组的解集为
,
∵关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为5,且A∩B(-2,5),
不等式等价于
,
当时,恒成立
当时,不等式
恒成立,得
,
当时,不等式
恒成立,即
恒成立,
当时,
的取值范围为
,
∴实数,
综上所述,t的取值范围为.
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