题目内容
已知函数f(x)=2cos2
+cos(ωx+
)（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求实数ω的值，并求使得关于x的方程f（x）=m在区间[0，
]上有解的实数m的取值范围；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=-
，c=3，△ABC的面积为3
，求角A的值和边a的值．
| ωx |
| 2 |
| π |
| 3 |
（1）求实数ω的值，并求使得关于x的方程f（x）=m在区间[0，
| 2π |
| 3 |
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合最小正周期为π，确定函数解析式，求出函数的值域，即可求使得关于x的方程f（x）=m在区间[0，
]上有解的实数m的取值范围；
（2）先求出A，再利用三角形的面积公式求出b，进而利用余弦定理求出a．
| 2π |
| 3 |
（2）先求出A，再利用三角形的面积公式求出b，进而利用余弦定理求出a．
解答：解：（1）∵函数f(x)=2cos2
+cos(ωx+
)=1+cosωx+
cosωx+
sinωx=1+
cosωx+
sinωx
∴f(x)=
cos(ωx+
)+1，
∵函数的周期为π，且ω＞0，
∴ω=2…（2分）
于是f(x)=
cos(2x+
)+1，
∵x∈[0，
]，
∴2x+
∈[
，
]，
∴f(x)∈[1-
，
]，
∴要是方程f（x）=m在区间[0，
]上有解，m的取值范围是[1-
，
]．…（6分）
（2）∵f（A）=
cos(2A+
)+1=-
，∴A=60°…（8分）
∵△ABC的面积为3
，c=3，
∴
b•3•sin60°=3
，∴b=4，…（10分）
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=16+9-2•4•3•
=13，可求得a=
．…（12分）
| ωx |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴f(x)=
| 3 |
| π |
| 6 |
∵函数的周期为π，且ω＞0，
∴ω=2…（2分）
于是f(x)=
| 3 |
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| 2π |
| 3 |
∴2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
∴f(x)∈[1-
| 3 |
| 5 |
| 2 |
∴要是方程f（x）=m在区间[0，
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
（2）∵f（A）=
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵△ABC的面积为3
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 3 |
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=16+9-2•4•3•
| 1 |
| 2 |
| 13 |
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的值域，考查三角形面积的计算，考查余弦定理的运用，属于中档题．
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