Question

若x∈（-∞，-1]，不等式（m-m²）4^x+2^x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围 是

-2＜m＜3

．

Answer 1

分析：先分离参数得m-m2＞-(

1

2

)x-(

1

4

)x，再构造函数求出函数最大值，从而m-m²＞-6，故可求实数m的取值范围．

解答：解：分离参数得m-m2＞-(

1

2

)x-(

1

4

)x，令g(x)=-(

1

2

)x-(

1

4

)x，下其它的最大值，
可令t=(

1

2

)x，(t≥2)，则函数变为y=-t²-t，其对称轴为t=-

1

2

∴y=-t²-t在[2，+∞）上是减函数
∴t=2时，函数有最大值-6，
∴m-m²＞-6，解得-2＜m＜3，
故答案为-2＜m＜3．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，一般用分离参数法，进而转化为求函数的值域，特别是对于二次函数求值域问题，一般采用配方法求解，属基础题．