(2013•大兴区一模)已知数列{an}的各项均为正整数.且a1＜a2＜-＜an.设集合Ak={x|x=ni=1 λiai.λi=-1或λi=0.或λi=1}．性质1:若对于?x∈Ak.存在唯一一组λi.使x=ni=1 λiai成立.则称数列{an}为完备数列.当k取最大值时称数列{an}为k阶完备数列．性质2:若记mk=ni=1 ai.且对于任意|x|≤mk.k� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2013•大兴区一模）已知数列{a_n}的各项均为正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，设集合A_k={x|x=

i=1

λ_ia_i，λ_i=-1或λ_i=0，或λ_i=1}（1≤k≤n）．
性质1：若对于?x∈A_k，存在唯一一组λ_i，（i=1，2，…，k）使x=

i=1

λ_ia_i成立，则称数列{a_n}为完备数列，当k取最大值时称数列{a_n}为k阶完备数列．
性质2：若记m_k=

i=1

a_i（1≤k≤n），且对于任意|x|≤m_k，k∈Z，都有x∈A_K成立，则称数列P{a_n}为完整数列，当k取最大值时称数列{a_n}为k阶完整数列．
性质3：若数列{a_n}同时具有性质1及性质2，则称此数列{a_n}为完美数列，当K取最大值时{a_n}称为K阶完美数列；
（Ⅰ）若数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，求集合A₂，并指出{a_n}分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为a_n=10^n-1，求证：数列{a_n}为n阶完备数列，并求出集合A_n中所有元素的和S_n．
（Ⅲ）若数列{a_n}为n阶完美数列，试写出集合A_n，并求数列{a_n}通项公式．

分析：（Ⅰ）先根据题中的新定义定出集合A₂={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，再根据几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列的定义得出结论；
（Ⅱ）对于?x∈A_n，先假设存在2组λ_i及μ_i（i=1，2…，n）使x=

i=1

λiai成立，则有(λ1-μ1)100+(λ2-μ2)101+…+(λn-μn)10n-1=0，从而必有λ₁=μ₁，λ₂=μ₂…λ_n=μ_n，从而得出数列{a_n}为n阶完备数列；再利用对?x∈A_n，x=

i=1

λiai，则-x=-

i=1

λiai=

i=1

(-λi)ai，得到-x∈A_n，从而求出S_n的值；
（Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知A_n中必有3ⁿ个元素，由（Ⅱ）知A_n中元素成对出现（互为相反数），且0∈A_n，又{a_n}具有性质2，从而得出数列{a_n}通项公式．

解答：解：（Ⅰ）A₂={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}；
∴{a_n}为2阶完备数列，2阶完整数列，2阶完美数列；
（Ⅱ）若对于?x∈A_n，假设存在2组λ_i及μ_i（i=1，2…，n）使x=

i=1

λiai成立，则有λ1100+λ2102+…+λn10n-1=μ1100+μ2102+…+μn10n-1，即(λ1-μ1)100+(λ2-μ2)101+…+(λn-μn)10n-1=0，
其中λ_i，μ_i∈{-1，0，1}，必有λ₁=μ₁，λ₂=μ₂…λ_n=μ_n，
所以仅存在唯一一组λ_i（i=1，2…，n）使x=

i=1

λiai成立，
即数列{a_n}为n阶完备数列；S_n=0，对?x∈A_n，x=

i=1

λiai，则-x=-

i=1

λiai=

i=1