Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，满足T_n=2S_n-n²，n∈N^*，则数列{a_n}的通项公式是（　　）

• A． a_n=3•2^n-1-2
• B． a_n=3•2ⁿ-2
• C． a_n=3•4^n-1-2
• D． a_n=3•2ⁿ⁺¹-2

Answer 1

分析 根据数列项和前n项和之间的关系，进行递推，结合等比数列的定义，构造等比数列进行求解即可．

解答 解：当n≥2时，S_n=T_n-T_n-1=2S_n-n²-2S_n-1+（n-1）²，
即S_n-2S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，①
则S_n+1-2S_n=2（n+1）-1，②
则②-①得S_n+1-2S_n-S_n+2S_n-1=2，
即a_n+1-2a_n=2，
则a_n+1+2=2（a_n+2），
则数列{a_n+2}是公比q=2的等比数列，
当n=1时，T₁=2S₁-1，
即a₁=2a₁-1，解得a₁=1，
则首项为a₁+2=1+2=3，
则a_n+2=3•2^n-1，
则a_n=3•2^n-1-2，
故选：A．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系进行递推关系是解决本题的关键．本题使用了两次递推关系，考查学生的运算和推理能力．