Question

给出下列函数：
①f（x）=sin（

π

2

-2x）；
②f（x）=sinx+cosx；
③f（x）=sinxcosx；
④f（x）=sin²x；
⑤f（x）=|cos2x|
其中，以π为最小正周期且为偶函数的是

①④

．

Answer 1

分析：利用三角函数的诱导公式与倍角公式、利用奇偶函数的概念对①②③④⑤逐个判断即可．

解答：解：①f（x）=sin（

π

2

-2x）=cos2x，其周期T=

2π

2

=π，满足f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x）是偶函数，故①符合；
②f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），其周期T=2π≠π，故②不满足题意；
③f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x，f（-x）=

1

2

sin（-2x）=-sin2x=-sin2x=-f（x），是奇函数，故③不满足题意；
④f（x）=sin²x=

1-cos2x

2

，是以π为最小正周期的偶函数，故④符合题意；
⑤f（x）=|cos2x|是偶函数，但其周期为

π

2

，故⑤不满足题意；
综上所述，以π为最小正周期且为偶函数的是①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查三角函数的诱导公式与倍角公式，考查函数奇偶性的判断与周期的求法，属于中档题．