题目内容
已知|
|=4，|
|=3，（2
-3
）•（2
+
）=61．
（1）求
与
的夹角θ；
（2）若
=t
+(1-t)
，且
•
=0，求t及|
|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求
| a |
| b |
（2）若
| c |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
分析：（1）根据数量积的运算对条件展开运算即可求得向量夹角；
（2）根据
•
=0建立等式，可求出t的值，然后根据模的定义可求出|
|的值．
（2）根据
| b |
| c |
| c |
解答：解 （1）∵|
|=4，|
|=3，（2
-3
）•（2
+
）=61，
∴
•
=-6．---------------（3分）
∴cos θ=
=
=-
，-------------------------------（5分）
又0≤θ≤π，∴θ=
．-------------------------------------（7分）
（2）
•
=
（t
+(1-t)
）=t
•
+（1-t）
2=-15t+9=0
∴t=
--------------------（10分）
∴|
|2=（
+
）2=
，∴|
|=
-----------（14分）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
∴cos θ=
| ||||
|
|
| -6 |
| 4×3 |
| 1 |
| 2 |
又0≤θ≤π，∴θ=
| 2π |
| 3 |
（2）
| b |
| c |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
∴t=
| 3 |
| 5 |
∴|
| c |
| 3 |
| 5 |
| a |
| 2 |
| 5 |
| b |
| 108 |
| 25 |
| c |
6
| ||
| 5 |
点评：本题主要考查向量数量积的运算、及向量夹角的求解，同时考查了运算求解的能力，属基础题．
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