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精英家教网在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作AP⊥PE,垂足为P,PE交CD于点E.
(1)连接AE,当△APE与△ADE全等时,求BP的长;
(2)若设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式.当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?
(3)若PE∥BD,试求出此时BP的长.
分析:(1)根据全等三角形的对应边相等知AP=AD=3;然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的长度;
(2)根据相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的对应边成比例列出关于x、y的方程,通过二次函数的最值的求法来求y的最大值;
(3)如图,连接BD.利用(2)中的函数关系式设BP=x,则CE=-
1
2
x2+
3
2
x,然后根据相似三角形△CPE∽△CBD的对应边成比例列出关于x的一元二次方程,通过解该方程即可求得此时BP的长度.
解答:精英家教网解:(1)∵△APE≌△ADE(已知),AD=3(已知),
∴AP=AD=3(全等三角形的对应边相等);
在Rt△ABP中,BP=
AP2-AB2
=
32-22
=
5
(勾股定理);
(2)∵AP⊥PE(已知),
∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°,
∴∠APB=∠PEC,
又∵∠B=∠C=90°,
∴Rt△ABP∽Rt△PCE,
AB
PC
=
BP
CE
2
3-x
=
x
y
(相似三角形的对应边成比例),
∴y=-
1
2
x2+
3
2
x=-
1
2
(x-
3
2
2+
9
8

∴当x=
3
2
时,y有最大值,最大值是
9
8

(3)如图,连接BD.设BP=x,CE=-
1
2
x2+
3
2
x,
∵PE∥BD,
∴△CPE∽△CBD,
CP
CB
=
CE
CD
(相似三角形的对应边成比例),
3-x
3
=
-
1
2
x2+
3
2
x
2

化简得,3x2-13x+12=0
解得,x1=
4
3
,x2=3(不合题意,舍去),
∴当BP=
4
3
时,PE∥BD.
点评:本题综合考查了矩形的性质、勾股定理、二次函数的最值等知识点.本题中求二次函数的最值时,采用了配方法.属于中档题.
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