如图.在平面直角坐标系xoy中.抛物线y=118x2-49x-10与x轴的交点为A.与y轴的交点为点B.过点B作x轴的平行线BC.交抛物线于点C.连接AC.现有两动点P.Q分别从O.C两点同时出发.点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动.点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动.点P停止运动时.点Q也同时停止运动．线段OC.PQ相交于点D.过点D作DE∥OA.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=

x²-

x-10与x轴的交点为A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC、现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当t∈（0，

）时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

分析：（1）在y=

x²-

x-10中，令y=0可求A，令x=0，可求B；由BC∥x轴，可得点C的纵坐标为-10．由-10=

x²-

x-10可求C，由y=

x²-

x-10=

（x-4）²-

可求抛物线的顶点坐标
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可求解．
（3）设点P运动了t秒，则OP=4t，QC=t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．由QC∥OP，可得

．同理QC∥AF，而

，即

．代入三角形的面积公式S_△PQF=

PF•OB
（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．从而有PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100，FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．分①若FP=FQ②若QP=QF，③若PQ=PF分别进行求解

解答：

解：（1）在y=

x²-

x-10中，令y=0
得x²-8x-180=0．
解得x=-10或x=18，
∴A（18，0）．（1分）
在y=

x²-

x-10中，令x=0，得y=-10．
∴B（0，-10）．（2分）
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为-10．
由-10=

x²-

x-10得x=0或x=8．
∴C（8，-10）．（3分）
∵y=

x²-

x-10=

（x-4）²-

∴抛物线的顶点坐标为（4，-

）．（4分）
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可．
∵QC=t，PA=18-4t，
∴t=18-4t．
解得t=

．（6分）
（3）设点P运动了t秒，则OP=4t，QC=t，且0＜t＜2.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．
∵QC∥OP，
∴

．
同理QC∥AF，
∴

，即

．
∴AF=4t=OP．
∴PF=PA+AF=PA+OP=18．（8分）
∴S_△PQF=

PF•OB=

×18×10=90
∴△PQF的面积总为定值90．（9分）
（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．
∴PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100，FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100，PF=18
①若FP=FQ，则18²=（5t+10）²+100．
即25（t+2）²=224，（t+2）²=

224

．
∵0＜t＜4.5，
∴2＜t+2＜6.5，
∴t+2=

224

．
∴t=