题目内容

．．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。

设函数，数列满足。

⑴求数列的通项公式；

⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；

⑶是否存在以为首项，公比为的等比数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由。

 

【答案】

解：⑴因为，

所以．………………………………………………………………2分

因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列．

所以。…………………………………………………………4分

⑵①当时，

……………………………………………………………………6分

②当时，

………………………………………8分

所以

要使对恒成立，

同时恒成立，

即恒成立，所以。

故实数的取值范围为。…………………………………………………10分

⑶由，知数列中每一项都不可能是偶数．

①如存在以为首项，公比为2或4的数列，，

此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列．……………………………………………………………………………………12分

②当时，显然不存在这样的数列．

当时，若存在以为首项，公比为3的数列，．

则，，，。……………………16分

所以满足条件的数列的通项公式为。…………………………18分

 

【解析】略

 

练习册系列答案
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（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

若数列满足：是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式均可用特征根求得：

①若方程有两相异实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；

②若方程有两相同实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；

再利用可求得，进而求得．

根据上述结论求下列问题：

（1）当，（）时，求数列的通项公式；

（2）当，（）时，求数列的通项公式；

（3）当，（）时，记，若能被数整除，求所有满足条件的正整数的取值集合．

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
已知负数和正数，且对任意的正整数n，当≥0时, 有[, ]=
[, ]；当<0时, 有[, ]= [, ]．
（1）求证数列{}是等比数列；
（2）若，求证；
（3）是否存在，使得数列为常数数列？请说明理由

（本题满分18分）已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5．

（Ⅰ）求抛物线C的方程;

（Ⅱ）如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;

（Ⅲ）过A、B分别作抛物C的切线且交于点M,求与面积之和的最小值．

 

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．

考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．

（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；

（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．

（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．

 

（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）
已知数列的首项为1，前项和为，且满足，．数列满足.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 当时，试比较与的大小，并说明理由；
（3） 试判断：当时，向量是否可能恰为直线的方向向量？请说明你的理由.

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