题目内容

已知函数f(x)=10x,对于实数m、n、p有f(m+n)=f(m)+f(n),f(m+n+p)=f(m)+f(n)+f(p),则p的最大值等于______.
由f(x)=10x得:f(m+n)=f(m)f(n),
∵f(m+n)=f(m)+f(n),
∴f(m)f(n)=f(m)+f(n),
设f(m)f(n)=f(m)+f(n)=t,
则f(m)、f(n)是x2-tx+t=0的解,
∵△=t2-4t≥0,
∴t≥4或t≤0(舍去).
又f(m+n+p)=f(m)f(n)f(p)=f(m)+f(n)+f(p),
∴tf(p)=t+f(p),
∴f(p)=
t
t-1
=1+
1
t-1
(t≥4),
显然t越大,f(p)越小,
∴当t=4时,f(p)取最大值
4
3
,又f(p)=10p
∴f(p)取到最大值时,p也取到最大值,即pmax=lg
4
3
=2lg2-lg3.
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