Question

已知F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，点P满足|

PF

1|+|

PF

2|=4，记点P的轨迹为E，
（1）求轨迹E的方程；
（2）如果过点Q（0，m）且方向向量为

c

=（1，1）的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当

OA

•

OB

=0时，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：解：（1）点P满足|

PF

1|+|

PF

2|=4，得出点P的轨迹是以（

3

，0），（-

3

，0）为焦点的椭圆从而写出点P的轨迹方程即可．
（2）依题意直线AB的方程为y=x+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直的条件可求得m值，最后利用弦长公式结合三角形的面积公式即可解决问题．

解答：解：（1）∵点P满足|

PF

1|+|

PF

2|=4，
∴

(x+ 3 )2+y2

+

(x- 3 )2+y2

=4
∴点P的轨迹是以（

3

，0），（-

3

，0）为焦点的椭圆，
a=2，c=

3

，b=1，
∴点P的轨迹方程为

x2

4

+y2=1
（2）依题意直线AB的方程为y=x+m．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入椭圆方程，得5x²+8mx+4m²-4=0，（1分）△=64m²-20（4m²-4）＞0，∴m²＜5，
x1x2=

4m2-4

5

，y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=

m2-4

5

，
x1x2+y1y2=

5m2-8

5

=0，m2=

8

5

，m=±

2 10

5

，
因此AB=

1+1

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

5

80-16m2

=

4 2

5

5-m2

=

4 170

25

，
dO-AB=

|m|

2

=

2 5

5

，
S△AOB=

1

2

|AB|•d=

2

5

(5-m2)m2

=

2 136

25

．

点评：本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意（2）的处理弦长问题的一般方法，将直线的方程代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．