Question

7．对于函数f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$，设f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*，且n≥2），令集合M={x|f₂₀₁₅（x）=-x，x∈R}，则集合M为（　　）

• A． 空集
• B． 实数集
• C． 单元素集
• D． 二元素集

Answer 1

分析 根据条件可分别求出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），f₆（x），f₇（x），会得出f₇（x）=f₃（x），从而从f₃（x）开始每4项便重复出现f₃（x），而2015=3+4×503，从而有f₂₀₁₅（x）=f₃（x），这样即可解出方程f₂₀₁₅（x）=-x，这便可得到集合M所含元素的情况，从而找出正确选项．

解答 解：${f}_{2}（x）=\frac{\frac{x-1}{x+1}-1}{\frac{x-1}{x+1}+1}=\frac{x-1-x-1}{x-1+x+1}=-\frac{1}{x}$，${f}_{3}（x）=\frac{-\frac{1}{x}-1}{-\frac{1}{x}+1}=\frac{-1-x}{-1+x}=\frac{x+1}{x-1}$，${f}_{4}（x）=\frac{\frac{x+1}{x-1}-1}{\frac{x+1}{x-1}+1}=\frac{x+1-x+1}{x+1+x-1}=\frac{1}{x}$，${f}_{5}（x）=\frac{1-x}{1+x}$，f₆（x）=-x，${f}_{7}（x）=\frac{x+1}{x-1}$；
∴f₇（x）=f₃（x）；
∴从f₃（x）开始组成了一个以f₃（x）为首项，以周期为4重复出现，且2015=3+4×503；
∴${f}_{2015}（x）={f}_{3}（x）=\frac{x+1}{x-1}$；
∴$\frac{x+1}{x-1}=-x$；
整理得x²=-1；
M=∅．
故选：A．

点评 考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，周期的概念，以及描述法表示集合，空集的概念．