Question

12．已知等比数列{a_n}中，a₄a₈=9，则a₃+a₉的取值范围为（　　）

• A． [6，+∞）
• B． [6，+∞）∪（-∞，-6]
• C． （6，+∞）
• D． （-6，6）

Answer 1

分析 由题意和等比数列的性质可得a₃a₉=a₄a₈=9，当a₃和a₉为正数时，由基本不等式可得a₃+a₉≥2$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$=6；当a₃和a₉为负数时，由基本不等式可得a₃+a₉≤-2$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$=-6，验证等号成了即可．

解答 解：由题意和等比数列的性质可得a₃a₉=a₄a₈=9，
∴当a₃和a₉为正数时，a₃+a₉≥2$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$=6，
当且仅当a₃=a₉=3时取等号，此时a₃+a₉≥6；
当a₃和a₉为负数时，a₃+a₉=-2（-a₃-a₉）≤-2$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$=-6，
当且仅当a₃=a₉=-3时取等号，此时a₃+a₉≤-6；
综合可得a₃+a₉的取值范围为：[6，+∞）∪（-∞，-6]
故选：B

点评 本题考查等比数列的性质和基本不等式求最值，涉及分类讨论的思想，属中档题．