Question

已知圆A的圆心为(,0),半径为1,双曲线C的两条渐近线都过原点,且与圆A相切,双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称.

(1)求双曲线C的方程;

(2)设直线l过点A,斜率为k,当0＜k＜1时,双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为,试求k的值及此时点B的坐标.

Answer 1

解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,则=1,解得k=±1,即渐近线方程为y=±x.

又点A关于y=x的对称点A′的坐标为(0, ),所以a=b=,双曲线的方程为-=1.

(2)直线l:y=k(x-)(0＜k＜1).

依题意设B点在与l平行的直线l′上,且l与l′间的距离为,设直线l′:y=kx+m,

则=,即m²+2km=2,                                           ①

把l′代入双曲线方程得(k²-1)x²+2mkx+m²-2=0.

∵0＜k＜1,∴k²-1≠0.

∴Δ=4(m²+2k²-2)=0,即m²+2k²=2.                                               ②

解①②得m=,k=.

此时x=2,y=,∴B(2,).