题目内容
已知双曲
-
=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则
的值为（ ）
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
| |MF| |
| |PQ| |
分析：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的第二定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．
解答：解：∵双曲线的方程为
-
=1，
∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，
依题意，直线PQ的方程为：y=x-5．
由
得：7x2+90x-369=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x-369=0的两根，
∴x1+x2=-
，y1+y2=（x1-5）+（x2-5）=x1+x2-10=-
，
∴线段PQ的中点N（-
，-
），
∴PQ的垂直平分线方程为y+
=-（x+
），
令y=0得：x=-
．又右焦点F（5，0），
∴|MF|=5+
=
．①
设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，
∵双曲线的一条渐近线为y=
x，其斜率k=
，直线PQ的方程为：y=x-5，其斜率k′=1，
∵k′＜k，
∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，
则由双曲线的第二定义得：
=
=e=
=
，
∴|PF|=
x1-
×
=
x1-3，
同理可得|QF|=3-
x2；
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-
x2-（
x1-3）
=6-
（x1+x2）
=6-
×（-
）
=
．②
∴
=
=
．
故选B．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，
依题意，直线PQ的方程为：y=x-5．
由
|
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x-369=0的两根，
∴x1+x2=-
| 90 |
| 7 |
| 160 |
| 7 |
∴线段PQ的中点N（-
| 45 |
| 7 |
| 80 |
| 7 |
∴PQ的垂直平分线方程为y+
| 80 |
| 7 |
| 45 |
| 7 |
令y=0得：x=-
| 125 |
| 7 |
∴|MF|=5+
| 125 |
| 7 |
| 160 |
| 7 |
设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，
∵双曲线的一条渐近线为y=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∵k′＜k，
∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，
则由双曲线的第二定义得：
| |PF| |
| |PP′| |
| |PF| | ||
x1-
|
| c |
| a |
| 5 |
| 3 |
∴|PF|=
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 32 |
| 5 |
| 5 |
| 3 |
同理可得|QF|=3-
| 5 |
| 3 |
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
=6-
| 5 |
| 3 |
=6-
| 5 |
| 3 |
| 90 |
| 7 |
=
| 192 |
| 7 |
∴
| |MF| |
| |PQ| |
| ||
|
| 5 |
| 6 |
故选B．
点评：本题考查双曲线的第二定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．
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