题目内容

若数列{an}中，若an随n的增大而增大，则称{an}为递增数列．设数列{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是{an}为递增数列的
充要
充要
条件．
分析：利用“a1＜a2＜a3”可得数列{an}是递增数列；当数列{an}是递增数列，则一定有a1＜a2＜a3，即可判断两个条件的关系．
解答：解：∵{an}是等比数列，
则由“a1＜a2＜a3”可得数列{an}是递增数列，故充分性成立．
若数列{an}是递增数列，则一定有a1＜a2＜a3，故必要性成立．
综上，“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件，
故答案为：充要．
点评：本题考查充分条件、必要条件的定义，递增数列的定义，判断充分性是解题的难点，属于中档题．
练习册系列答案
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4、给定项数为m（m∈N*，m≥3）的数列{an}，其中ai∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m-1），若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”，例如数列{an}：0，1，1，0，1，1，0．因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列
①{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{cn}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（Ⅲ）假设数列{an}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{an}的最后一项am的值．
若数列{an}对于任意的正整数n满足：an＞0且anan+1=n+1，则称数列{an}为“积增数列”．已知“积增数列”{an}中，a1=1，数列{an2+an+12}的前n项和为Sn，则对于任意的正整数n，有（　　）
A、Sn≤2n2+3B、Sn≥n2+4nC、Sn≤n2+4nD、Sn≥n2+3n

关于数列有下列四个判断：
①若a，b，c，d成等比数列，则a+b，b+c，c+d也成等比数列；
②若数列{an}是等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…也成等比数列；
③若数列{an}既是等差数列也是等比数列，则{an}为常数列；
④数列{an}的前n项的和为Sn，且数学公式，则{an}为等差或等比数列；
⑤数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n）．
其中正确命题的序号是________．（请将正确命题的序号都填上）
若数列{an}对于任意的正整数n满足：an＞0且anan+1=n+1，则称数列{an}为“积增数列”．已知“积增数列”{an}中，a1=1，数列{an2+an+12}的前n项和为Sn，则对于任意的正整数n，有（ ）
A．Sn≤2n2+3
B．Sn≥n2+4n
C．Sn≤n2+4n
D．Sn≥n2+3n

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