题目内容

若数列{an}对于任意的正整数n满足：an＞0且anan+1=n+1，则称数列{an}为“积增数列”．已知“积增数列”{an}中，a1=1，数列{an2+an+12}的前n项和为Sn，则对于任意的正整数n，有（　　）
A、Sn≤2n2+3B、Sn≥n2+4nC、Sn≤n2+4nD、Sn≥n2+3n
分析：利用基本不等式判断出an2+an+12≥2anan+1，利用等差数列的前n项和求出数列{anan+1}的前n项和；据项大和就大，判断出数列{an2+an+12}的前n项和的范围．
解答：解：∵an＞0
∴an2+an+12≥2anan+1
∵anan+1=n+1
∴{anan+1}的前n项和为2+3+4+…+n+1=
(2+n+1)n
2
=
(n+3)n
2

∴数列{an2+an+12}的前n项和为Sn≥2 ×
(n+3)n
2
=(n+3)n
故选D
点评：利用基本不等式的性质时，一定要注意使用的条件：两个变量必须是正的．
练习册系列答案
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已知有穷数列A：a1，a2，…，an，（n≥2）．若数列A中各项都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，则称该数列为数列．对于数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项ai，aj，将
ai+aj
1+aiaj
的值添在A的最后，然后删除ai，aj，这样得到一个n-1项的新数列A1（约定：一个数也视作数列）．若A1还是数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作A2，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作Ak．
（Ⅰ）设A：0，
1
2
，
1
3
…请写出A1的所有可能的结果；
（Ⅱ）求证：对于一个n项的数列A操作T总可以进行n-1次；
（Ⅲ）设A：-
5
7
，-
1
6
，-
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5
，-
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，
5
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，
1
2
，
1
3
，
1
4
，
1
5
，
1
6
…求A9的可能结果，并说明理由．
在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an），…，简记为{An}．若由bn=
AnAn+1
•
j
构成的数列{bn}满足bn+1＜bn，n=1，2，…，其中
j
为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列．
（1）判断A1（1，-1），A2(2，-
1
2
)，A3(3，-
1
4
)，…，An(n，-
1
2n-1
)，…，是否为T点列，并说明理由；
（2）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右下方，证明任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，一定能构成钝角三角形；
（3）若{An}为T点列，且对于任意n∈N*，都有bn＞0，那么数列{an}是否一定存在极限？若是，请说明理由；若不是，请举例说明．
（2012•徐汇区一模）对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列．某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a1，公差为d的无穷等差数列{an}的子数列问题，为此，他取了其中第一项a1，第三项a3和第五项a5．
（1）若a1，a3，a5成等比数列，求d的值；
（2）在a1=1，d=3 的无穷等差数列{an}中，是否存在无穷子数列{bn}，使得数列（bn）为等比数列？若存在，请给出数列{bn}的通项公式并证明；若不存在，说明理由；
（3）他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a，公比为正整数q（q＞1）的无穷等比数列{cn}，总可以找到一个子数列{bn}，使得{dn}构成等差数列”．于是，他在数列{cn}中任取三项ck，cm，cn（k＜m＜n），由ck+cn与2cm的大小关系去判断该命题是否正确．他将得到什么结论？
（2013•徐汇区一模）对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列．某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a，公比为正整数q（q＞0）的无穷等比数列{an}的子数列问题．为此，他任取了其中三项ak，am，an（k＜m＜n）．
（1）若ak，am，an（k＜m＜n）成等比数列，求k，m，n之间满足的等量关系；
（2）他猜想：“在上述数列{an}中存在一个子数列{bn}是等差数列”，为此，他研究了ak+an与2am的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；
（3）他又想：在首项为正整数a，公差为正整数d的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列？请你就此问题写出一个正确命题，并加以证明．
已知有穷数列A：a1，a2，…，an，(n≥2)，若数列A中各项都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，则称该数列为Γ数列。对于Γ数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项ai，aj，将的值添在A的最后，然后删除ai，aj，这样得到一个n-1项的新数列A1(约定：一个数也视作数列)。若A1还是Γ数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作A2，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作Ak，
（Ⅰ）设A：0，，请写出A1的所有可能的结果；
（Ⅱ）求证：对于一个n项的Γ数列A操作T总可以进行n-1次；
（Ⅲ）设A：，求A9的可能结果，并说明理由.

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