题目内容

已知抛物线x²=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且 $数学公式$ （λ＞0），
过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（1）证明线段FM被x轴平分；
（2）计算 $数学公式$ 的值；
（3）求证： $数学公式$ ．

解：（1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由曲线8y=x²上任意一点斜率为y'= $\text{[math]}$ ，
直线AM的方程为： $\text{[math]}$
直线BM的方程为： $\text{[math]}$
解方程组得 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
由已知，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2
与抛物线方程x²=8y联立消y可得：x²-8kx-16=0，∴x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16
所以M点的纵坐标为-2，，所以线段FM中点的纵坐标为0
即线段FM被x轴平分．
（2） $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
由（1）x₁+x₂=8k，代入得 $\text{[math]}$
（3）∵ $\text{[math]}$ ，∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由曲线8y=x²上任意一点斜率为y'= $\text{[math]}$ ，由已知，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2与抛物线方程x²=8y联立消y，从而得解；
（2）先求得 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，进而可求得 $\text{[math]}$ 的结果为0，
（3）先求得∵ $\text{[math]}$ ，∵ $\text{[math]}$ ，从而可解．
点评：本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．