题目内容

设平面向量 $数学公式$ 满足 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，其中，k，t，s∈R．
（1）若 $数学公式$ ，求函数关系式s=f（t）；
（2）在（1）的条件下，若k=3，t∈[-2，3]，求s的最大值；
（3）实数k在什么范围内取值时？对该范围内的每一个确定的k值，存在唯一的实数t，使 $数学公式$ ．

解：（1）∵设平面向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$
即[ $\text{[math]}$ ]•[ $\text{[math]}$ ]=0
即-S+t³-kt=0
故s=t³-kt…（4分）
（2）∵k=3，
∴s=t³-3t，s'=3t²-3，
由s'=0?t₁=-1，t₂=1，
f（t）在（-∞，-1）上递增，（-1，1）上递减，（1，+∞）递增，
又∵f（-1）=2，f（3）=18，
∴s的最大值为18 …（10分）
（3）∵ $\text{[math]}$ ，
∴-s+t³-kt=2-s，t³-2=kt，…（12分）
当t=0时，等式不成立；
当t≠0时， $\text{[math]}$
k（t）在（-∞，-1）上递减，（-1，0）上递增，（0，+∞）递增，
结合图象可知k＜3时符合要求．…（16分）
分析：（1）由已知中平面向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，代入整理可得函数关系式s=f（t）；
（2）令k=3，可得s=t³-3t，则s'=3t²-3，分析函数的单调性可得t∈[-2，3]时，s的最大值．
（3））由已知可得 $\text{[math]}$ ，故-s+t³-kt=2-s，t³-2=kt，分别分析当t=0时和当t≠0时，等式成立的条件，可得结论．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，导数法判断函数的单调性，导数法求函数在定区间上的最值，其中根据平面向量的数量积运算公式，求出s关于变量t函数的解析式，是解答本题的关键．