题目内容
为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为:y=
x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)若月处理成本y不超过105000元,求月处理量x的范围;
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
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(1)若月处理成本y不超过105000元,求月处理量x的范围;
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?
分析:(1)利用函数解析式,根据月处理成本y不超过105000元,建立不等式,结合函数的定义域即可求得结论;
(2)求出利润函数不等式,利用配方法,求出函数的最大值,即可确定是否获利及国家每月至少补贴的费用.
(2)求出利润函数不等式,利用配方法,求出函数的最大值,即可确定是否获利及国家每月至少补贴的费用.
解答:解:(1)∵月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y=
x2-200x+80000,x∈[400,600]
∴月处理成本y不超过105000元,即
x2-200x+80000≤105000,∴400≤x≤500;
( 2)由题意,每月获利为100x元
∴设利润f(x)=100x-(
x2-200x+80000)=-
x2+300x-80000=-
(x-300)2-35000,x∈[400,600],
∴函数在[400,600]上单调减
∴x=400时,f(x)最大值=f(400)=-40000
∴该厂不获利,国家每月至少需要补贴40000元.
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∴月处理成本y不超过105000元,即
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( 2)由题意,每月获利为100x元
∴设利润f(x)=100x-(
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∴函数在[400,600]上单调减
∴x=400时,f(x)最大值=f(400)=-40000
∴该厂不获利,国家每月至少需要补贴40000元.
点评:本题考查解不等式,考查求二次函数的最值,确定利润函数是关键,属于中档题.
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