题目内容

已知M为椭圆上的一点，椭圆的两个焦点为F₁、F₂，且椭圆的长轴长为10，焦距为6，点I为△MF₁F₂的内心，延长线段MI交线段F₁F₂于N，则 $数学公式$ 的值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：连接IF₁、IF₂，△MF₁N中根据内角平分线定理，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；同理在△MF₂N中： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再用椭圆定义和比例的基本性质得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得到本题答案．
解答：

解：连接IF₁、IF₂，
∵I为△MF₁F₂的内心，
∴IF₁平分∠MF₁N，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
同理可得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵M是椭圆上一点，且椭圆的长轴长为10
∴|MF₁|+|MF₂|=2a=10
而|NF₁|+|NF₂|=2c=6，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选：D
点评：本题给出椭圆焦点三角形的内心，求它的内角平分线MN被内心I分成的两段的比，着重考查了椭圆的定义与三角形内角平分线定理等知识，属于基础题．

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