题目内容
近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足
(其中
，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10+2P万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为
元／件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
【答案】
（1）
，（
）.
（2）当
时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
当
时,促销费用投入
万元时，厂家的利润最大 .
【解析】
试题分析：（1）由题意得到
， 将
代入化简即得
，（）.
（2）将原函数变形，应用基本不等式，
，
当且仅当
时，上式取等号.根据，讨论，
, 的不同情况，确定最大利润.
试题解析：（1）由题意知， ，
将代入化简得：
，（）， 6分
（2），
当且仅当时，上式取等号. 9分
当时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
当时, 
在
上单调递增,所以在
时,函数有最大值．促销费用投入
万元时，厂家的利润最大 .
综上述,当时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
当时,促销费用投入万元时，厂家的利润最大 . 12分
考点：函数的应用问题，基本不等式.
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