Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1

n(an+3)

（n∈N*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_n，是否存在实数t，使得对任意的n均有：8S_n≤t（a_n+3）成立？若存在，求出t的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用首项和公差，表示出等差数列的三项，根据这三项是等比数列的三项，且三项成等比数列，用等比中项的关系写出算式，解出结果．从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）将（Ⅰ）的结果代入，再裂项，从而可求S_n；
 （Ⅲ） 假设存在整数t满足8S_n≤t（a_n+3）总成立．得t≥

2n

(n+1)2

，求出右边的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）2，…2 分
整理得2a₁d=d2．
∵a₁=1，解得（d=0舍），d=2．  …4 分
∴a_n=2n-1（n∈N*）．   …6 分
（Ⅱ）b_n=

1

n(an+3)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

（1-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

．   …10 分
（Ⅲ）假设存在整数t满足8S_n≤t（a_n+3）总成立．
得t≥

2n

(n+1)2

，而

2n

(n+1)2

=

2

n+ 1 n +2

≤

2

2+2

=

1

2

，即

2n

(n+1)2

的最大值为

1

2

，
∴t≥

1

2

适合条件  …（12分）

点评：本题以数列为载体，考查等差数列与等比数列的综合，考查裂项求和，考查分离参数法求解恒成立问题．