题目内容
若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
是公差为8的准等差数列．（I）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（I）：由已知an+an+1=2n（n∈N*），an+1+an+2=2（n+1），即可得出an+2-an=2（n∈N*）．即可证明{an}为准等差数列．分n为奇偶数即可得出其通项公式．
（Ⅱ）分当n为偶数时，当n为奇数时，求出Sn．
当k为偶数时，令Sk=50，得k=10．再分别令S9=50，S11=50得出a即可．
解答：解：（Ⅰ）∵an+an+1=2n（n∈N*）①
an+1+an+2=2（n+1）②
②-①得an+2-an=2（n∈N*）．
所以，{an}为公差为2的准等差数列．
当n为偶数时，
，
当n为奇数时，
；
∴
．
（Ⅱ）当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
=
．
当k为偶数时，
，得k=10．
由题意，有
；
或
．
当a=10时，S9，S10两项等于50；当a=-10时，S10，S11两项等于50；
所以，a=±10．
点评：正确理解新定义和分类讨论的思想方法等是解题的关键．
（Ⅱ）分当n为偶数时，当n为奇数时，求出Sn．
当k为偶数时，令Sk=50，得k=10．再分别令S9=50，S11=50得出a即可．
解答：解：（Ⅰ）∵an+an+1=2n（n∈N*）①
an+1+an+2=2（n+1）②
②-①得an+2-an=2（n∈N*）．
所以，{an}为公差为2的准等差数列．
当n为偶数时，
，当n为奇数时，
；∴
．（Ⅱ）当n为偶数时，
；当n为奇数时，
=
． 当k为偶数时，
，得k=10．由题意，有
；或
．当a=10时，S9，S10两项等于50；当a=-10时，S10，S11两项等于50；
所以，a=±10．
点评：正确理解新定义和分类讨论的思想方法等是解题的关键．
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